TEORI BILANGAN

MAKALAH

Sejarah Teori Bilangan

1. Pengertian teori bilangan

Secara tradisional, teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah dimengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.

Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritma Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan kongruensi dipelajari di sini.

Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Juga teorema sisa Tiongkok dan hukum keresiprokalan kuadrat. Sifat dari fungsi multiplikatif seperti fungsi Möbius dan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci.

2.  Gambaran sejarah purbakala dari Matematika

Pada mulanya di zaman purbakala banyak bangsa-bangsa yang bermukim sepanjang sungai-sungai besar. Bangsa Mesir sepanjang sungai Nil di Afrika, bangsa Babilonia sepanjang sungai Tigris dan Eufrat, bangsa Hindu sepanjang sungai Indus dan Gangga, bangsa Cina sepanjang sungai Huang Ho dan Yang Tze. Bangsa-bangsa itu memerlukan keterampilan untuk mengendalikan banjir, mengeringkan rawa-rawa, membuat irigasi untuk mengolah tanah sepanjang sungai menjadi daerah pertanian untuk itu diperlukan pengetahuan praktis, yaitu pengetahuan teknik dan matematika bersama-sama.
Sejarah menunjukkan bahwa permulaan Matematika berasal dari bangsa yang bermukim sepanjang aliran sungai tersebut. Mereka memerlukan perhitungan, penanggalan yang bisa dipakai sesuai dengan perubahan musim. Diperlukan alat-alat pengukur untuk mengukur persil-persil tanah yang dimiliki. Peningkatan peradaban memerlukan cara menilai kegiatan perdagangan, keuangan dan pemungutan pajak. Untuk keperluan praktis itu diperlukan bilangan-bilangan.

1. Awal Bilangan

Bilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalam perkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dan kata-kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yang sangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan keseharian kita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkan baik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan serta banyak aspek kehidupan lainnya.
Bilangan dahulunya digunakan sebagai symbol untuk menggantikan suatu benda misalnya kerikil, ranting yang masing-masing suku atau bangsa memiliki cara tersendiri untuk menggambarkan bilangan dalam bentuk simbol diantaranya :

Simbol bilangan bangsa Babilonia:

Simbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada 500 tahun SM:

Simbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno:

Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11 dan dipakai hingga kini oleh umat Islam di seluruh dunia:

Simbol bilangan bangsa Yunani Kuno:

Simbol bilangan bangsa Romawi yang juga masih dipakai hingga kini:

Dalam perkembangan selanjutnya, pada abad ke-X ditemukanlah manuskrip Spanyol yang memuat penulisan simbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab Kuno dan cara penulisan inilah yang menjadi cikal bakal penulisan simbol bilangan yang kita pakai hingga saat ini, seperti yang tampak dalam gambar berikut:

2. Perkembangan Teori Bilangan

1. Teori Bilangan Pada suku Babilonia

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam.
Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan dari lebih daripada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.
Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini.
Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal

2. Teori Bilangan Pada Suku Bangsa Mesir Kuno

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.
Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.
Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.

3. Teori Bilangan Pada Suku Bangsa India

Sulba Sutras (kira-kira 800–500 SM) merupakan tulisan-tulisan geometri yang menggunakan bilangan irasional, bilangan prima, aturan tiga dan akar kubik; menghitung akar kuadrat dari 2 sampai sebagian dari seratus ribuan; memberikan metode konstruksi lingkaran yang luasnya menghampiri persegi yang diberikan, menyelesaikan persamaan linear dan kuadrat; mengembangkan tripel Pythagoras secara aljabar, dan memberikan pernyataan dan bukti numerik untuk teorema Pythagoras.
Kira-kira abad ke-5 SM merumuskan aturan-aturan tata bahasa Sanskerta menggunakan notasi yang sama dengan notasi matematika modern, dan menggunakan aturan-aturan meta, transformasi, dan rekursi. Pingala (kira-kira abad ke-3 sampai abad pertama SM) di dalam risalah prosodynya menggunakan alat yang bersesuaian dengan sistem bilangan biner. Pembahasannya tentang kombinatorika bersesuaian dengan versi dasar dari teorema binomial. Karya Pingala juga berisi gagasan dasar tentang bilangan Fibonacci.
Pada sekitar abad ke 6 SM, kelompok Pythagoras mengembangkan sifat-sifat bilangan lengkap (perfect number), bilangan bersekawan (amicable number), bilangan prima (prime number), bilangan segitiga (triangular number), bilangan bujur sangkar (square number), bilangan segilima (pentagonal number) serta bilangan-bilangan segibanyak (figurate numbers) yang lain. Salah satu sifat bilangan segitiga yang terkenal sampai sekarang disebut triple Pythagoras, yaitu : a.a + b.b = c.c yang ditemukannya melalui perhitungan luas daerah bujur sangkar yang sisi-sisinya merupakan sisi-sisi dari segitiga siku-siku dengan sisi miring (hypotenosa) adalah c, dan sisi yang lain adalah a dan b. Hasil kajian yang lain yang sangat popular sampai sekarang adalah pembedaan bilangan prima dan bilangan komposit. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari satu yang tidak memiliki Faktor positif kecuali 1 dan bilangan itu sendiri. Bilangan positif selain satu dan selain bilangan prima disebut bilangan komposit. Catatan sejarah menunjukkan bahwa masalah tentang bilangan prima telah menarik perhatian matematikawan selama ribuan tahun, terutama yang berkaitan dengan berapa banyaknya bilangan prima dan bagaimana rumus yang dapat digunakan untuk mencari dan membuat daftar bilangan prima.
Dengan berkembangnya sistem numerasi, berkembang pula cara atau prosedur aritmetis untuk landasan kerja, terutama untuk menjawab permasalahan umum, melalui langkah-langkah tertentu, yang jelas yang disebut dengan algoritma. Awal dari algoritma dikerjakan oleh Euclid. Pada sekitar abad 4 S.M, Euclid mengembangkan konsep-konsep dasar geometri dan teori bilangan. Buku Euclid yang ke VII memuat suatu algoritma untuk mencari Faktor Persekutuan Terbesar dari dua bilangan bulat positif dengan menggunakan suatu teknik atau prosedur yang efisien, melalui sejumlah langkah yang terhingga. Kata algoritma berasal dari algorism. Pada zaman Euclid, istilah ini belum dikenal. Kata Algorism bersumber dari nama seorang muslim dan penulis buku terkenal pada tahun 825 M., yaitu Abu Ja’far Muhammed ibn Musa Al-Khowarizmi. Bagian akhir dari namanya (Al-Khowarizmi), mengilhami lahirnya istilah Algorism. Istilah algoritma masuk kosakata kebanyakan orang pada saat awal revolusi komputer, yaitu akhir tahun 1950.
Pada abad ke 3 S.M., perkembangan teori bilangan ditandai oleh hasil kerja Erathosthenes, yang sekarang terkenal dengan nama Saringan Erastosthenes (The Sieve of Erastosthenes). Dalam enam abad berikutnya, Diopanthus menerbitkan buku yang bernama Arithmetika, yang membahas penyelesaian persamaan didalam bilangan bulat dan bilangan rasional, dalam bentuk lambang (bukan bentuk/bangun geometris seperti yang dikembangkan oleh Euclid). Dengan kerja bentuk lambang ini, Diopanthus disebut sebagai salah satu pendiri aljabar.

4. Teori Bilangan Pada Masa Sejarah (Masehi)

Awal kebangkitan teori bilangan modern dipelopori oleh Pierre de Fermat (1601-1665), Leonhard Euler (1707-1783), J.L Lagrange (1736-1813), A.M. Legendre (1752-1833), Dirichlet (1805-1859), Dedekind (1831-1916), Riemann (1826-1866), Giussepe Peano (1858-1932), Poisson (1866-1962), dan Hadamard (1865-1963). Sebagai seorang pangeran matematika, Gauss begitu terpesona terhadap keindahan dan kecantikan teori bilangan, dan untuk melukiskannya, ia menyebut teori bilangan sebagai the queen of mathematics.
Pada masa ini, teori bilangan tidak hanya berkembang sebatas konsep, tapi juga banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Hal ini dapat dilihat pada pemanfaatan konsep bilangan dalam metode kode baris, kriptografi, komputer, dan lain sebagainya

3. Tokoh-Tokoh Teori Bilangan

1. Pythagoras (582-496 SM) 
   Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai “Bapak Bilangan”, dia memberikan sumbangan yang penting terhadap filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
   Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras, yang menyatakan  bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya). Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras, namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena ia yang pertama kali membuktikan pengamatan ini secara matematis.
2. Jamshid Al-Kashi (1380 M)
   Al-Kashi terlahir pada 1380 di Kashan, sebuah padang pasir di sebelah utara wilayah Iran Tengah. Selama hidupnya, al-Kashi telah menyumbangkan dan mewariskan sederet penemuan penting bagi astronomi dan matematika.
   Pecahan desimal yang digunakan oleh orang-orang Cina pada zaman kuno selama berabad-abad, sebenarnya merupakan pecahan desimal yang diciptakan oleh al-Kashi. Pecahan desimal ini merupakan salah satu karya besarnya yang memudahkan untuk menghitung aritmatika yang dia bahas dalam karyanya yang berjudul Kunci Aritmatika yang diterbitkan pada awal abad ke-15 di Samarkand.
3. Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam (965 M)
   Abu Ali Hasan Ibnu Al-Haytam lahir Basrah Irak, yang oleh masyarakat Barat dikenal dengan nama Alhazen. Al-Haytam adalah orang pertama yang mengklasifikasikan semua bilangan sempurna yang genap, yaitu bilangan yang merupakan jumlah dari pembagi-pembagi sejatinya,  seperti yang berbentuk 2k-1(2k-1) di mana 2k-1 adalah bilangan prima. Selanjutnya Al-Haytam membuktikan bahwa bila p adalah bilangan prima, 1+(p-1)! habis dibagi oleh p.
4. Pierre de Fermat
   Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapat bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq, .

3. Angka nol ditemukan
   Zero = 0 = Empty = Kosong (Nol) Memang, kata dalam Bahasa Inggris ‘zero’ (nol) berasal dari bahasa Arab ‘sifr’, suatu terjemahan literal dari bahasa Sanskrit “shûnya” yang bermakna “kosong”. Runtutan keterkaitan bahasa dari masa ke masa: shûnya (Sanskrit) -> (Ancient Egypt/Babylonia) -> (Greek/Helenic) -> (Rome/Byzantium) – sifr (Arab) -> zero (English) -> nol; kosong (Indonesia). Nol asalnya dari India “shûnya” bukan cuma sebuah istilah, tapi juga konsep.
   Sekitar tahun 300 SM orang babilonia telah memulai penggunaan dua buah baji miring, //, untuk menunjukkan sebuah tempat kosong, sebuah kolom kosong pada Abakus. Simbol ini memudahkan seseorang untuk menentukan letak sebuah symbol. Angka nol sangat berguna dan merupakan simbol yang menggambarkan sebuah tempat kosong dalam Abakus, sebuah kolom dengan batu-batu yang ditempatkan di dasar. Kegunaannya hanya untuk memastikan bahwa butiran-butiran tersebut berada di tempat yang tepat, angka nol tidak memiliki nilai numeric tersendiri.
   Pada komputer nol ini dapat merusak sistem, karena nol diartikan tidak ada. Berapapun bilangan dikalikan dengan nol hasilnya tidak ada. Nah inilah yang membuat bingung dalam operasi perhitungan.
   Perhatikan contoh ini :
   0=0 ( nol sama dengan nol, benar)
   0 x3=0 x 89 (nol sama-sama dikalikan dengan sebuah bilangan, karena juga akan bernilai nol)
   (0 x 3)/0= (0 x 89)/0 (sebuah bilangan dibagi dengan bilangan yang sama, akan bernilai satu)
   3=89 (???, hasil ini yang membuat bingung)
   Walaupun demikian sebenarnya nol itu hebat, jika tidak ditemukan angka nol tulisan satu juta dalam bilangan romawi ditulis apa?? Bisa-bisa selembar kertas tidak sampai untuk hanya memberikan symbol satu juta itu. Bisa dibayangkan jika nol tidak ada. Banyak kekuatan yang terkandung dalam angka ini. Nol adalah perangkat paling penting dalam matematika. Namun berkat sifat matematis dan filosofis yang aneh pada angka nol, ia akan berbenturan dengan filsafat barat.
   Angka nol berbenturan dengan salah satu prinsip utama filsafat barat, sebuah dictum yang akar-akarnya terhujam dalam filsafat angka Phythagoras dan nilai pentingnya tumbuh dari paradoks Zeno. seluruh cosmos Yunani didirikan di atas pilar: tak ada kekosongan.
   Kosmos Yunani yang dis=ciptakan oleh Phytagoras, Aristoteles dan Ptolemeus masih lama bertahan setelah keruntuhan peradaban Yunani. Dalam kosmos ini tak ada ketiadaaan. Oleh karena itu, hampir sepanjang dua milinium orang-orang barat tak bersedia menerima angka nol. Konsekuensinya sungguh menakutkan. Ketiadaan angka nol menghambat perkembangan matematika, menghalangi inovasi sains dan yang lebih berbahaya, mengacaukan sistem penanggalan.
4. Macam-macam bilangan
   Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.
   Misal : ….-2,-1,0,1,2….
   Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu) sampai tak terhingga.
   Misal : 1,2,3….
   Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.
   Misal : 0,1,2,3,….
   Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.
   Misal : 2,3,5,7,11,13,…..
   (1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).
   Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.
   Misal ; 4,6,8,9,10,12,….
   Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan a/b, dimana a dan b merupakan bilangan bulat).
   Misal: 1/2 ,2/(3 ),3/4….
   Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat.
   Misal: π, √3 , log 7 dan sebagainya.
   Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional
   Misal: 1/2 √(2 ),1/3 √5,1/4 π,2/3 log ⁡2 dan sebagainya.
   Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang ditandai dengan i, bilangan imajiner i dinyatakan sebagai √(-1). Jadi, jika i = √(-1) maka i2= -1
   Misal: √(-4)=⋯?
   √(-4)=√(4×(-1) )
   = √4×√(-1)
   = 2 × i
   = 2i
   Jadi, √(-4)=2i.
   Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.
   Misal; π√(-1)= πi
   Log √(-1)=log⁡i

3. APLIKASI TEORI BILANGAN

1.     ISBN (International Book Serial Number)

Kode ISBN terdiri dari 10 karakter, biasanya dikelompokkan dengan spasi atau garis, misalnya 0–3015–4561–9.

ISBN terdiri atas empat bagian kode:

- kode yang mengidentifikasikan bahasa,

- kode penerbit,

- kode unik untuk buku tersebut,

- karakter uji (angka atau huruf X (=10)).

    Contoh: ISBN 0–3015–4561–8

          0 : kode kelompok negara berbahasa Inggris,

           3015 : kode penerbit

          4561 : kode unik buku yang diterbitkan

                8 : karakter uji.

         

          Karakter uji ini didapatkan sebagai berikut:

                   1  0 + 2  3 + 3  0 + 4  1 + 5  5 + 6  4 +

                   7  5 + 8  6 + 9  1 = 151

    Jadi, karakter ujinya adalah 151 mod 11 = 8. 

2. FUNGSI HASH

    Tujuan: pengalamatan di memori

    Bentuk: h(k) = k mod m                             

            - m : jumlah lokasi memori yang tersedia

 - k : kunci (integer)

 - h(k) : lokasi memori untuk record dengan

             kunci k 

    Kolisi (collision) terjadi jika fungsi hash menghasilkan nilai h yang sama

untuk k yang berbeda.

    Jika terjadi kolisi, cek elemen berikutnya yang kosong.

    Fungsi hash juga digunakan untuk me-locate elemen yang dicari.

3. KRIPTOGRAFI

  Pesan: data atau informasi yang dapat dibaca dan dimengerti maknanya.

          Nama lain: plainteks (plaintext)

                            

  Pesan dapat berupa:  teks, gambar, audio, video.

  Pesan ada yang dikirim atau disimpan di dalam media penyimpanan.

    Cipherteks (ciphertext): pesan yang telah disandikan sehingga tidak memiliki makna lagi.

    Tujuan: agar pesan tidak dapat dimengerti maknanya oleh pihak lain.

   

    Cipherteks harus dapat diubah kembali ke plainteks semula

Contoh:

Plainteks:

 culik anak itu jam 11 siang

Cipherteks: t^$gfUi89rewoFpfdWqL:p[uTcxZ

    Enkripsi (encryption): proses menyandikan plainteks menjadi ciphertek.

  

    Dekripsi (decryption): Proses mengembalikan cipherteks menjadi plainteksnya.

    Kriptografi (cryptography)

    Dari Bahasa Yunani yang artinya “secret writing”

    Definisi: kriptografi adalah ilmu dan seni untuk menjaga keamanan pesan.

    Algoritma kriptografi (cipher)

          - aturan untuk enkripsi dan dekripsi

          - fungsi matematika yang digunakan

       untuk enkripsi dan dekripsi.

    Kunci: parameter yang digunakan untuk transformasi enciphering dan dechipering

    Kunci bersifat rahasia, sedangkan algoritma kriptografi tidak rahasia

    Sudah digunakan di Yunani 400 BC

    Alat yang digunakan: scytale  

4. Aplikasi Kriptografi

1. Pengiriman data melalui saluran  komunikasi

        (data encryption on motion).

2. Penyimpanan data di dalam disk storage

       (data encryption at rest)

    Data ditransmisikan dalam bentuk chiperteks. Di tempat penerima chiperteks dikembalikan lagi menjadi plainteks.

    Data di dalam media penyimpanan komputer (seperti hard disk) disimpan dalam bentuk chiperteks. Untuk membacanya, hanya orang yang berhak yang dapat mengembalikan chiperteks menjadi plainteks.

5. Notasi Matematis

Misalkan:

          C = chiperteks

          P = plainteks dilambangkan

Fungsi enkripsi E memetakan P ke C,

                   E(P) = C                                                                       

Fungsi dekripsi D memetakan C ke P,

                   D(C) = P    

Dengan menggunakan kunci K, maka fungsi enkripsi dan dekripsi menjadi

                   E_K(P) = C                                                                      

                   D_K(C) = P                                                                     

    dan kedua fungsi ini memenuhi

              D_K(E_K(P)) = P

    Jika kunci enkripsi sama dengan kunci dekripsi, maka sistem kriptografinya disebut sistem simetri atau sistem konvensional.

    Algoritma kriptografinya disebut algoritma simetri atau algoritma konvensional .

    Jika kunci enkripsi tidak sama dengan kunci dekripsi, maka sistem kriptografinya disebut sistem nirsimetri (asymmetric system)

    Nama lain: sistem kriptografi kunci-publik

          karena, kunci enkripsi bersifat publik (public key) sedangkan kunci dekripsi bersifat rahasia (private key).

    Pengirim pesan menggunakan kunci publik si penerima pesan untuk mengenkripsi pesan

    Penerima pesan mendekripsi pesan dengan kunci privatnya sendiri.
 

contoh soal program linear part2

soal dan pembahasan program linear

download

geometri transformasi

soal dan pembahasan

contoh_soal_geometri_transformasi part2

geometri transformasi part1

contoh_soal_geometri_transformasi part3

soal dan pembahasan kalkulus differensial

contoh_soal_kalkulus DIFERENSIAL part 1

contoh_soal_kalkulus diferensial part2

contoh_soal_kalkulus diferensial part 3

SISTEM ORGAN PADA HEWAN

SISTEM ORGAN PADA HEWAN

1. Sistem Rangka (Skelet)

  a.  Sistem rangka pada hewan invetebrata

Hewan invetebrata misalnya,,pada cacing pipih,,cacing gilig,,hewan golongan Annelida,,dan Coelenterata (Cnidaria) memiliki sistem rangka hidrostatik. Adanya rangka hidrostatik memungkinkan gerakan peristalsis. Gerakan peristalsis merupakan pergerakan yang dihasilkan oleh kontraksi otot yang ritmik dari kepala sampai ekor. Gerakan peristalsis dapat terjadi karna adanya otot sirkuler dan otot longitudinal. Sedangkan invetebrata yang lain membutuhkan sistem rangka untuk melindungi tubuh mereka. Masalah ini diatasi dengan berkembangnya sistem rangka luar (eksoskeleton).

Eksoskeleton terdiri dari shell dan body case. Shell atau cangkang merupakan eksoskeleton yang tidak menutupi seluruh tubuh hewan. Shell terdiri dari satu atau dua bagian (kepingan) yang tumbuh bersamaan dengan tubuh hewan pemiliknya. Shell paling banyak ditemukan pada hewan-hewan Bivalvia dan Gastropoda (molusca).

Sebaliknya,,body case lebih kompleks dari pada shell.Body case merupakan eksoskeleton yang menutupi seluruh permukaan tubuh hewan. Body case terdiri dari sejumlah kepingan yang disatukan pada sendi-sendi tertentu yang fleksibel. Body case  tidak dapat tumbuh secara periodik,,sehingga body case harus ditinggalakan dan diganti dengan yang baru. Contohnya pada Arthropoda yang mencakup kelompok serangga,,udang,,dan laba-laba.

b. Sistem rangka pada hewan vertebrata

Hewan vertebrata membutuhkan sistem rangka untuk menyokong berat tubuh. Hal tersebut diatasi dengan adanyaendoskeleton (rangka dalam). Endoskeleton vertebrata dapat tumbuh seiring dengan pertumbuhan tubuhnya. Endoskeleton tersusun dari tulang. Tulang dan otot bekerja sama membentuk sistem gerak. Endoskeleton hewan memilki bentuk khas,,dimana bentuk khas inilah yang memberi bentuk tubuh pada masing-masing jenis hewan.

Sistem gerak hewan vertebrata sama seperti pada manusia,,otot sebagai alat gerak aktif dan tulang sebagai alat gerak pasif. Hewan yang hidup di darat memiliki struktur tulang dan otot yang tidak jauh berbeda dengan manusia. Namun hewan yang hidup di udara dan di air memiliki struktur tulang yang khas. Selain itu hewan-hewan tersebut juga memiliki struktur tambahan pada tubuhnya untuk mendukung pergerakan. Contohnya burung dan ikan.

Burung merupakan contoh hewan yang beradaptasi dengan baik untuk bergaerak di udara. Burung memiliki:

·         Sayap dan bulu-bulu yang berfungsi untuk mengangkat tubuh burung di udara.

·         Rangka yang ringan dan ramping atau pipih.

·         Sistem tulang dan otot yang kuat untuk menggerakkan sayap.

Bulu burung selain berfungsi untuk terbang,,juga berfungsi untuk menahan panas,,sehingga tubuh burung dapat menjaga panas tubuhnya. Otot bekerja lebih efesien dalam keadaan hangat.

Burung memiliki struktur tulang yang teradaptasi untuk terbang. Adaptasi tulang burung antara lain adalah:

·                Burung memiliki paruh yang lebih ringan dibandingkan rahang dan gigi pada hewan mamalia.

·         Burung memiliki sternum (tulang dada) yang pipih dan luas,,berguna sebagai tempat pelekatan otot terbang yang luas.

·         Tulang-tulang burung berongga dan ringan. tulang-tulang tersebut sangat kuat karena memiliki struktur bersilang.

·         Sayap tersusun dari tulang-tulang yang lebih sedikit dibandingkan tulang-tulang pada tangan manusia. Hal ini berfungsi untuk mengurangi berat,,terutama ketika burung terbang.

·         tulang belakang bergabung untuk memberi bentuk rangka yang padat,,terutama ketika mengepakkan sayap pada saat terbang.

Teknik Terbang

Burung terbang dengan mengepakkan sayap,,yaitu menggerakkan sayap ke atas dan ke bawah untuk menimbulkan gerakan mengangkat dan mendorong tubuhnya di udara. Gerakan mendorong dan mengangkat sayap memerlukan kekuatan yang paling besar. Sementara pada saat mengangkat sayap,,memerlikan kekuatan yang lebih kecil. Pada saat mengangkat sayap,,burung menempatkan posisi sayapnya ke semula,,untuk memulai gerakan mendorong dan mengangkat kembali.

Sedangkan pada hewan yang hidup di air,,seperti contohnya ikan. Kita tahu bahwa air memiliki kerapatan yang lebih besar dibandingkan udara,,sehingga hewan lebih sulit bergerak di air. Namun sebaliknya,,air memiliki gaya angkat yang lebih besar dibandingkan dengan udara. Beberapa hewan yang hidup di air memiliki struktur tubuh dan sistem gerak yang khas. Jadi untuk bergerak di dalam air,,ikan memiliki struktur:

·         Bentuk tubuh yang Aerodinamis (streamline) untuk mengurangi hambatan ketika bergerak di dalam air.

·         Ekor dan sirip ekor yang lebar untuk mendorong gerakan ikan di dalam air.

·         Sirip tambahan untuk mencegah gerakan yang tidak diinginkan.

·         Gelembung renang untuk mengatur gerakan vertikal.

·         Susunan otot dan tulang belakang yang fleksibel untuk mendorong ekor ikan melawan air.

2. Sistem Integumen (Kulit)

Sistem integumen adalah sistem organ yang membedakan,,memisahkan,,melindungi,,dan menginformasikan hewan terhadap lingkungan sekitarnya. Sistem ini seringkali merupakan bagian sistem organ yang terbesar yang mencakup kulit,,rambut,,bulu,,sisik,,kuku,,kelenjar keringat dan produknya (keringat atau lendir). Kata ini berasal dari bahasa Latin "integumentum", yang berarti "penutup".

 Kulit

Kulit adalah lapisan terluar pada tubuh manusia. Kulit dibagi menjadi 3 bagian,,yaitu: bagian terluar disebut epidermis,,bagian tengah mesodermis,,dan bagian dalam dermis. Kulit sangat sensitif terhadap pengaruh lingkungan sekitarnya,,seperti panas matahari,,debu,,dan asap knalpot.

Fungsi kulit dapat bermacam-macam ,,antara lain:

·               Sebagai pelindung

·               Sebagai eksteroreseptor

·               Sebagai osmoregulator

·               Sebagai termoregulator

·               Sebagai alat pernapasan

·               Sebagai alat gerak

·               Sebagai tempat cadangan makanan

 Rambut

Rambut adalah organ seperti benang yang tumbuh di kulit hewan,,terutama mamalia. Rambut muncul dari epidermis (kulit luar),,walaupun berasal dari folikel rambut yang berada jauh di bawah dermis. Struktur mirip rambut,,yang disebut trikoma,,juga ditemukan pada tumbuhan.

 Kuku

Kuku adalah bagian tubuh binatang yang terdapat atau tumbuh di ujung jari. Kuku tumbuh dari sel mirip gel lembut yang mati,,mengeras,,dan kemudian terbentuk saat mulai tumbuh dari ujung jari. Kulit ari pada pangkal kuku berfungsi melindungi dari kotoran.

Fungsi utama kuku adalah melindungi ujung jari yang lembut dan penuh urat saraf, serta mempertinggi daya sentuh. Secara kimia,,kuku sama dengan rambut yang antara lain terbentuk dari keratin protein yang kaya akan sulfur.

Pada kulit di bawah kuku terdapat banyak pembuluh kapiler yang memiliki suplai darah kuat sehingga menimbulkan warna kemerah-merahan. Seperti tulang dan gigi,,kuku merupakan bagian terkeras dari tubuh karena kandungan airnya sangat sedikit.

Pertumbuhan kuku jari tangan dalam satu minggu rata-rata 0,5 - 1,5 mm,,empat kali lebih cepat dari pertumbuhan kuku jari kaki. Pertumbuhan kuku juga dipengaruhi oleh panas tubuh. Nutrisi yang baik sangat penting bagi pertumbuhan kuku. Sebaliknya, kalau kekurangan gizi atau menderita anoreksia nervosa,,pertumbuhan kuku sangat lamban dan rapuh.

Salah satu contoh sistem integumen pada hewan adalahsistem integumen pada mamalia.

Binatang menyusui atau mamalia adalah kelas hewan vertebrata yang terutama dicirikan oleh adanya kelenjar susu,,yang pada betina menghasilkan susu sebagai sumber makanan anaknya,,adanya rambut,,dan tubuh yang endoterm atau "berdarah panas". Otak mengatur sistem peredaran darah,,termasuk jantung yang beruang empat. Mamalia terdiri lebih dari 5000 genus,,yang tersebar dalam 425 keluarga dan hingga 46 ordo,,meskipun hal ini tergantung klasifikasi ilmiah yang dipakai.

            Secara filogenetik,,yang disebut Mamalia adalah semua turunan dari nenek moyang monotremata (seperti ekidna) dan mamalia therian (berplasenta dan berkantung atau marsupial).

Mamalia memliki integumen yang terdiri dari tiga lapisan,,yaitu:

  Paling luar adalah epidermis,,

Epidermis biasanya terdiri atas tiga puluh lapis sel yang berfungsi menjadi lapisan tahan air. Sel-sel terluar dari lapisan epidermis ini sering terkelupas,,epidermis bagian paling dalam sering membelah dan sel anakannya terdorong ke atas (ke arah luar).

  Tengah adalah dermis,,

Bagian tengah,,dermis,,memiliki ketebalan lima belas hingga empat puluh kali dibanding epidermis. Dermis terdiri dari berbagai komponen seperti pembuluh darah dan kelenjar.

  Dalam adalah hypodermis

Hipodermis tersusun atas jaringan adiposa dan berfungsi untuk menyimpan lemak,,penahan benturan,,dan insulasi. Ketebalan lapisan ini bervariasi pada setiap spesies

3. Sistem Pencernaan

·         Hewan invertebrata

Pada hewan invertebrata,,pembagian makanan dilakukan dengan cara yang sangat sederhana,,seperti pada amoeba dengan vakuola makanan,,pada planaria dengan gastrovaskuler.

a)      Sistem pencernaan cacing tanah

Saluran pencernaan cacing tanah terdiri dari mulut,,kerongkongan,,tembolok,,empedal,, usus,,dan anus.

      Cacing tanah memakan buangan sampah,,kemudian makanan ini masuk ke dalam mulut bersama dengan butiran-butiran tanah. Setelah itu,,makanan di dalam kerongkongan yang membesar (faring) akan dibasahi oleh lendir,,kemudian disimpan sementara di dalam tembolok. Dari tembolok,,makanan masuk ke dalam empedal. Empedal adalah lambung pengunyah yang berotot. Di empedal,,makanan dicerna secara mekanik dengan bantuan butiran tanah,,kemudian dialirkan ke usus.

Pencernaan secara kimiawi dan penyerapan sari makanan,,terjadi di dalam usus. Sisa makanan dikeluarkan melalui anus.

b)      Sistem pencernaan serangga

Serangga yang kita ambil sebagai contoh adalah belalang. belalang mencari makanan secara aktif. Oleh karena itu,,di sekitar mulut belalang terdapat alat pelengkap khusus,,sehingga dapat memakan daun dengan cepat.

Dari mulut,,makanan melalui kerongkongan masuk ke dalam tembolok untuk disimpan sementara. Dari tembolok,,makanan menuju ke empedal. Di empedal,,makanan digiling,,kemudian masuk ke dalam lambung. Di dalam lambung,,terjadi pencernaan secara kimiawi dan penyerapan sari makanan. Makanan kemudian masuk ke dalam darah dan diedarkan ke seluruh tubuh. Sisa makanan yang berbentuk padat dikumpulkan dan bermuara pada usus besar,,lalu sisa makanan dikeluarkan melalui anus.

·         Hewan vertebrata

a)      Sistem pencernaan burung

Burung memiliki saluran pencernaan yang terdiri dari mulut,,kerongkongan,,tembolok,, lambung kelenjar,,empedal,,usus halus,,usus besar,,dan kloaka.

Burung menggunakan paruhnya untuk mengambil makanan,,namun paruh burung tidak berfungsi sebagai pengunyah. Lidah burung runcing dan keras karena berlapiskan zat tanduk. Makanan dari mulut masuk menuju ke tembolok melalui kerongkongan. Di tembolok,,makanan disimpan sementara,,setelah itu makanan masuk ke dalam lambung kelenjar yang mengeluarkan getah lambung.

Di empedal,,makanan dihancurkan dengan bantuan pasir atau kerikil. Dari empedal,,pencernaan dilanjutkan di usus halus. Pankreas dan hati menghasilkan enzim-enzim pencernaan yang dialirkan ke usus halus. Hasil pencernaan diserap oleh pembuluh darah pada dinding usus halus. Sisa pencernaan dialirkan ke usus besar,,kemudian ke rektum dan akhirnya dikeluarkan melalui kloaka. Kloaka merupakan muara tiga saluran,,yaitu saluran pencernaan,,saluran ekskresi,,dan saluran alat kelamin.

b)      Sistem pencernaan Reptil

Reptil memiliki saluran pencernaan yang terdiri dari mulut,,kerongkongan,,lambung,, usus,,dan kloaka.

Pada reptil,,alat untuk menangkap mangsa adalah lidah,,contohnya pada cicak,,dan gigi,,contohnya pada buaya. Mangsa yang tertangkap lansung ditelan. lendir yang dihasilkan kelenjar ludah membantu mempermudah penelanan mangsa.

c)      Sistem pencernaan amfibi

Saluran pencernaan amfibi,,contohnya katak,,terdiri dari mulut,,kerongkongan,,lambung,, usus,,dan kloaka.

Lidah pada katak digunakan untuk menangkap mangsa. Makanan dari mulut masuk ke dalam lambung melalui kerongkongan. Di dalam lambung makanan,,kemudian masuk ke dalam usus. Di usus,,zat makanan diserap. Sisa makanan dikeluarkan melalui kloaka. Kloaka merupakan muara dari tiga saluran,,yaitu: saluran pencernaan,,saluran eksresi,,dan saluran alat kelamin.

d)      Sistem pencernaan ikan

Saluran pencernaan pada ikan terdiri dari mulut,,kerongkongan,,lambung,,usus,,dan anus.

Dari mulut,,makanan masuk ke dalam kerongkongan,,kemudian masuk menuju lambung untuk dicerna. Dari lambung,,makanan mengalir menuju usus,,dan bermuara di anus.

e)      Sistem pencernaan mamalia

Sistem pencernaan pada hewan mamalia pada umumnya sama dengan manusia,,kecuali pada susunan dan bentuk gigi serta struktur lambung,,khususnya pada hewan pemamah biak dan hewan karnivora.

a.        Rongga mulut (kavum oris)

Rongga mulut mamalia dibentuk oleh tiga tahap,,yaitupalatum durun (langit-langit keras),,palatum mole (langit-langit lunak),,serta velum palastini (bagian tepi). Dasar rongga mulut bersifat lunak. Di dalam rongga mulut terdapat gigi,,lidah,,dan kelenjar ludah. Jenis gigi mamalia sama dengan gigi manusia,,tetapi mengalami perubahan bentuk yang sesuai dengan cara hidupnya.

·         Gigi seri (dens insisivus)

Gigi seri berbentuk pahat dan berfungsi untuk memotong. Pada hewan pengerat rodentia),,gigi seri berfungsi untuk mengerat. Email hanya ada di bagian daratan muka. Di bagian ini gigi terus tumbuh.

·         Gigi taring (dens caninus)

Gigi taring berbentuk runcing dan berfungsi untuk menyobek. Pada hewan karnivora,,gigi taring tumbuh dan berkembang dengan baik,,sedangkan pada herbivora,,gigi taring tidak berkembang.

·         Geraham muka (premolar)

Geraham muka berfungsi untuk mengunyah. Bagian mahkotanya terdiri dari email yang melintang dan tajam.

·         Geraham belakang (molar)

Geraham belakang berfungsi untuk mengunyah. Bentuknya sama dengan molar pada manusia.

b.      Lambung

            Khusus hewan pemamah biak (ruminansia),,seperti sapi,,rusa,,dan kambing,,lambungnya terbagi menjadi empat ruang,,yaitu: rumen,,retikulum,,omasum,,dan abomasum.

            Proses pencernaan di lambung sapi adalah sebagai berikut,,rumput atau daun-daunan dikunyah sekadarnya serta dicampur air ludah,,lalu ditelan ke esofagus. Dari esofagus makanan masuk ke rumen. Di rumen,,terdapat simbiosis antara hewan pemamah biak dengan bakteri dan flagelata yang yang dapat menghasilkan enzim selulase. Bakteri yang mampu menghancurkan selulosa contohnya adalahChytophaga,,sedangkan flagelata yang biasa terdapat dalam tubuh hewan ruminansia adalah Cypromonas subtilis. Akibat perombakan oleh flagelata ini,,feses dapat digunakan untuk pupuk,,dan dapat pula digunakan sebagai bahan dalam pembuatan biogas melalui proses peragian.

            Di dalam rumen,,terjadi pencernaan protein dan polisakarida,,serta fermentasi selulosa dan enzim selulase. Dari rumen,,makanan masuk ke retikulum. Di retikulum,,makanan dibentuk menjadi gumpalan-gumpalan kasar yang disebut bolus. Pada saat sapi beristirahat,,bolus yang disimpan sedikit demi sedikit dikeluarkan dari retikulum untuk dikunyah lagi. Sesudah itu ditelan lagi masuk ke retikulum,,lalu ke omasum,,dan selanjutnya ke abomasum. Di abomasum ini terjadi pencernaan yang sebenarnya oleh enzim-enzim pencernaan.

c.       Intestinum (usus)

            Usus pada mamalia dapat dibedakan atas usus halus (intestinum tenue)  dan usus besar (intestinum krasum). Usus halus terdiri dari duodenum,,jejunum,,dan ileum.

            Di dalam usus halus,,terjadi perombakan terakhir dan proses penyerapan sari-sari makanan. Usus berakhir dengan rektum dan lubang yang disebut anus. Secara garis besar,,sistem pencernaan makanan pada semua hewan mamalia adalah sama,,kecuali pada hewan pemamah biak yang memiliki kekhususan.

            Berbeda dengan sapi,,ruminansia seperti kuda,,kelinci,,dan marmut tidak melakukan fermantasi selulosa di rumen,,tapi di sekum (usus buntu). Sekum adalah kantong kecil yang terdapat di pertemuan antara usus halus dan usus besar. Pada hewan-hewan tersebut,,tidak terjadi pengunyahan dua kali sehingga feses yang dihasilkan lebih kasar dan berserat dari pada feses sapi. Pada kelinci dan hewan pengerat lainnya,,bakteri pencerna selulosa hidup di usus besar. (Purves et al.2004;Solomon et al.2005)